Como calcular as gregas das opções
As opções são instrumentos financeiros que oferecem aos investidores a possibilidade de participar da alta ou da baixa de um ativo subjacente, como ações, índices e commodities, sem a necessidade de possuir esse ativo em carteira. Uma forma de fazer isso é operar opções. Portanto, nesse contexto, tomar decisões informadas requer conhecimento não somente dos ativos de interesse e das opções disponíveis: é essencial compreender e saber como calcular as “Gregas” das opções. As Gregas são um conjunto de medidas que quantificam a sensibilidade de uma opção às mudanças nas condições de mercado. Em outras palavras, as Gregas informam como as opções respondem a variações no preço do ativo subjacente, volatilidade, o tempo e taxas de juros. Neste artigo, exploraremos as principais dentre as chamadas Gregas e sua definição baseada no celebrado modelo Black-Scholes.
Quem são as Gregas?
As Gregas são medidas da taxa de variação no preço de uma opção como função das variações nos parâmetros relevantes para a precificação das opções, isto é, preço do ativo subjacente, tempo de vida da opção, volatilidade e taxa de juros. Portanto, vamos conhecer as Gregas, uma a uma, e entender como elas são calculadas. Para isso, vamos estabelecer a seguinte nomenclatura:
- S é o preço atual do ativo subjacente;
- K é o preço de exercício da opção;
- V é o preço atual da opção sobre o ativo;
- T é o tempo de vida restante da opção, em base anual;
- \(\sigma\) é a volatilidade anual dos retornos do ativo subjacente;
- r é a taxa de juros livre de risco, em base anual.
Feito isso, vamos à definição de cada uma das Gregas e de seu significado prático.
Delta
O Delta mede a sensibilidade do preço de uma opção às mudanças no preço do ativo subjacente. O Delta varia de 0 a 1 para opções de compra e de -1 a 0 para opções de venda. Um Delta de 0,5 em uma opção de compra significa que, para cada aumento de R$ 1,00 no preço do ativo subjacente, o preço da opção aumentará em, aproximadamente, R$0,50. O Delta está relacionado à probabilidade de a opção ser exercida em seu vencimento. Em termos matemáticos, Delta é definido como
\[\Delta={{\partial V}\over{\partial S}}\]
Em termos práticos, o Delta para uma opção de compra é calculado como
\[\Delta_{call}={{\partial V}\over{\partial S}}=N(d_1)\]
enquanto que, para uma opção de venda, temos
\[\Delta_{call}={{\partial V}\over{\partial S}}=N(d_1)\]
em que N(.) é a função de distribuição de probabilidade acumulada, e
\[d_{1}=\frac{ln\left(\frac{S}{K}\right)+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)\cdot T}{\sigma\sqrt{T}}\]
relaciona-se à probabilidade de exercício da opção, conforme definida no modelo Black-Scholes.
Gamma
O Gamma mede a taxa de variação do Delta de uma opção em relação às mudanças no preço do ativo subjacente. Em outras palavras, ele quantifica a sensibilidade do Delta em relação às mudanças no preço do ativo subjacente. O Gamma é particularmente importante para os traders que usam estratégias de hedge, como delta hedging, pois quanto maior o Gamma, mais rápido o Delta da opção muda em resposta a mudanças no preço do ativo subjacente. Em termos matemáticos, o Gamma é definido como
\[\Gamma=\frac{\partial}{\partial S}\left(\Delta\right)=\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}.\]
Calculando-se essa derivada parcial, obtemos
\[\Gamma=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot S\cdot\sigma\cdot\sqrt{T}\cdot e^{\frac{d_{1}^{2}}{2}}}\]
Vega
Vega mede a sensibilidade do preço de uma opção às mudanças na volatilidade implícita do ativo subjacente. A volatilidade implícita representa as expectativas do mercado em relação à volatilidade futura do ativo subjacente. Uma opção com alto Vega é sensível às mudanças na volatilidade, o que a torna uma escolha atraente para os investidores que acreditam que a volatilidade aumentará. Por outro lado, uma opção com baixo Vega é menos sensível às mudanças na volatilidade, tornando-a mais adequada para investidores que esperam que a volatilidade diminua. Em termos matemáticos, Vega é definida como
\[\nu=\frac{\partial V}{\partial\sigma}\]
que resulta em
\[\nu=\frac{S\cdot\sqrt{T}\cdot e^{-\frac{d_{1}^{2}}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\]
Theta
O Theta mede a sensibilidade do preço de uma opção à passagem do tempo. À medida que o tempo passa, o valor de uma opção tende a diminuir. Portanto, o Theta quantifica essa deterioração do valor da opção. O Theta é uma medida crítica para os compradores de opções, pois indica quanto valor uma opção pode perder diariamente devido à passagem do tempo. O Theta é definido como a derivada parcial do valor da opção em relação ao tempo, ou seja,
\[\Theta=\frac{\partial V}{\partial t}.\]
Essa operação resulta em
\[\Theta=r\cdot V-r\cdot S\cdot\Delta-\frac{1}{2}\cdot\sigma^{2}\cdot S^{2}\cdot\var Gamma,\]
que é a equação que utilizaremos para calcular o Theta. Note que a equação é diferente para opções de compra e opções de venda, tendo em vista que depende explicitamente do preço da opção, denotado por V.
Rho
Rho mede a sensibilidade do preço de uma opção às mudanças nas taxas de juros. Geralmente, opções de compra têm Rho positivo, ou seja, seus preços aumentam à medida que as taxas de juros sobem. Por outro lado, opções de venda têm Rho negativo, o que significa que seus preços diminuem com o aumento das taxas de juros. No entanto, o impacto do Rho nas opções geralmente é menos significativo em comparação com outras Gregas, a menos que haja mudanças drásticas nas taxas de juros.
\[\rho=\frac{\partial V}{\partial r}\]
Temos, portanto
\[\rho=K\cdot T\cdot e^{-rT}\cdot N\left(d_{2}\right),\]
em que
\[d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T}\]
Exemplo
Para entendermos como calcular as Gregas na prática, nada melhor do que um exemplo.
Neste exemplo, vamos considerar o preço inicial do ativo subjacente S\left(0\right)=100,00, o preço de exercício da opçao K=95,00, a taxa de juros livre de risco de 5\% ao ano, e tempo de vida igual a 45 dias úteis, ou, T=\frac{45}{252}, para uma volatilidade esperada para o período equivalente a \sigma=40\% ao ano. O preço atual das opções de compra e venda, calculados através do modelo Black-Scholes: C=9,87 e P=4,03. Com esses dados, vamos calcular as gregas de uma opção de compra e de uma opção de venda sobre o ativo.
Temos, primeiramente,
\[
\begin{array}{rcl}
d_{1} & = & \frac{ln\left(\frac{100}{95}\right)+\left(0,05+\frac{1}{2}\left(0,4\right)^{2}\right)\cdot\frac{45}{252}}{0,4\sqrt{\frac{45}{252}}}\\
d_{1} & = & 0,4408
\end{array}
\]
O Delta
A partir daí, da tabela da distribuição normal padrão, obtemos
- \(N\left(d_{1}\right)=0,6703\);
- \(N\left(d_{2}\right)=0,6071\);
- \(N\left(-d_{1}\right)=0,3297\); e
- N\left(-d_{2}\right)=0,3929.
Imediatamente, temos os Deltas para a opção de compra, \(\Delta_{call}=0,6703\), e para a opção de venda, \(\Delta_{put}=-0,3297\). Nesse ponto, se o preço do ativo subjacente aumentar em R$ 1,00, o preço da opção de compra aumentará em aproximadamente R$ 0,67, e o preço da opção de venda será reduzido em em torno de R$ 0,33. Teríamos, aproximadamente, \(C=9,87+0,67=10,54\) e \(P=4,03-0,33=3,70\).
O Gamma
Quanto ao Gamma, temos
\[\begin{array}{rcl}
\Gamma & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot100\cdot0,40\cdot\sqrt{\frac{45}{252}}\cdot e^{\frac{0,4408^{2}}{2}}}\\
\Gamma & = & 0,0214
\end{array}
\]
Dessa forma, o Delta das opções estará variando em 0,0214 mediante aumento de R$ 1,00 no preço do ativo subjacente. Dessa forma, o Delta da opção de compra passaria a \(0,6703+0,0214=0,6917\) e o da opção de venda \(-0,3297+0,0214=-0,3083\).
O Vega
Seguindo, o cálculo do Vega nos dá
\[\begin{array}{rcl}
\nu & = & \frac{100\cdot\sqrt{\frac{45}{252}}\cdot e^{-\frac{0,4408^{2}}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\\
\nu & = & 15,2976
\end{array}
\]
Assim, um aumento de 10\% na volatilidade implícita implicaria um aumento de aproximadamente 0,10\cdot15,2976=1,53 nos preços das opções. Teríamos, então, C=9,87+1,53=11,40 e P=4,03+1,53=5,56.
O Theta
Seguindo, vamos ao Theta. Nesse caso, assim como no Delta, temos um Theta para opções de compra e outro pra opções de venda. Ou seja, o valor temporal de opções de compra e venda comportam-se de formas distintas. Utilizando a definição, temos:
\[\begin{array}{rcl}
\Theta_{call} & = & 0,05\cdot9,87-0,05\cdot100\cdot0,6703-\frac{1}{2}\cdot0,4^{2}\cdot100^{2}\cdot0,0214\\
\Theta_{call} & = & -19,99
\end{array}
\]
para a opção de compra, e
\[\begin{array}{rcl}
\Theta_{put} & = & 0,05\cdot4,03-0,05\cdot100\cdot\left(-0,3297\right)-\frac{1}{2}\cdot0,4^{2}\cdot100^{2}\cdot0,0214\\
\Theta_{put} & = & -15,28
\end{array}
\]
Temos, então, que ambos os tipos de opção perdem valor com o passar do tempo. Esse é o chamado “valor temporal” da opção. Considerando esses valores de Theta e que as opções estão a 45 dias do vencimento, vamos calcular quanto elas estarão valendo dentro de 1 mês. Como todos os parâmetros são dados em termos anuais, a expressão adequada para 1 mês é \frac{1}{12}, ou um doze avos de um ano. Assim, dentro de 1 mês, mantidos os demais parâmetros constantes, teremos C=9,87+\frac{1}{12}\cdot\left(-19,99\right)=8,20 e P=4,03+\frac{1}{12}\cdot\left(-15,28\right)=2,76.
O Rho
Para finalizar, vamos ao cálculo do Rho, que informa como mudanças na taxa de juros livre de risco influenciam o preço das opções. A partir da definição, temos:
\[\begin{array}{rcl}
\rho & = & 95\cdot\frac{45}{252}\cdot e^{-0,05\cdot\frac{45}{252}}\cdot0,6071\\
\rho & = & 10,2075
\end{array}
\]
Assim, o efeito de um aumento de 0,5\% na taxa de juros livre de risco teria o efeito de levar os preços das opções aos valores aproximados de C=9,87+0,005\cdot10,2075=9,92 e P=4,03+0,005\cdot10,2075=4,08. Com os juros mais altos, torna-se mais caro carregar uma posição comprada em opções até o vencimento, e por esse motivo ambas as opções ganham valor com o aumento dos juros.
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Resumo
Neste artigo, tratamos do cálculo das Gregas e incluímos um exemplo para ilustrar o procedimento, em detalhes. Para finalizar, podemos dizer que as Gregas possuem um valor inestimável para o acesso rápido e direto a uma compreensão do efeito das condições de mercado no preço das opções.
Conhecer e saber como calcular as Gregas é fundamental para a montagem e manutenção de estratégias de hedging, pois elas informam em que situações são necessários os rebalanceamento de posições e em que proporção o rebalanceamento deve ser efetuado. De qualquer forma, as Gregas devem ser parte de uma análise mais ampla ao tomar decisões de negociação de opções, já que elas não fornecem qualquer informação sobre o ativo subjacente. Além disso, as Gregas podem variar com base no modelo de precificação de opções usado, de forma que é essencial entender como essas medidas são calculadas em sua plataforma ou software de negociação.
