Compreendendo o modelo Black-Scholes para precificação de opções
A precificação de opções é uma tarefa central nas operações de investidores e gestores de portfólio. Ela consiste em atribuir a uma opção um valor justo. O valor justo de uma opção correspondente ao valor esperado do payoff da opção em determinado momento durante seu tempo de vida. O modelo Black-Scholes é um resultado muito celebrado no mercado financeiro. Ele foi desenvolvido por Fisher Black, Myron Scholes e Robert Merton nas décadas de 1960 e 1970. Desde sua publicação, o modelo tornou-se referência para a precificação de opções. Além disso, ele leitura de mercado a partir do cálculo da volatilidade implícita nos preços das opções. Neste artigo, exploraremos alguns aspectos relevantes acerca do modelo modelo Black-Scholes na precificação de opções, bem como entenderemos seu funcionamento e sua importância no mercado financeiro.
Ingredientes do modelo Black-Scholes
O modelo Black-Scholes é uma fórmulação matemática que captura as inter-relações entre os elementos relevantes para a precificação de opções. O modelo utiliza tais elementos para fornecer o valor presente de uma opção. Através de uma abordagem teórica, o modelo dá como resultado o preço justo teórico de uma opção a qualquer tempo durante seu período de vida. Devido à sua formulação, o modelo é adequado para a precificação de opções europeias, aquelas em que o exercício pode ocorrer somente na data de vencimento da opção.
Variáveis do modelo de Black-Scholes
Os elementos envolvidos no cálculo do preço de uma opção são:
- Preço do Ativo Subjacente \((S)\): O preço atual de mercado do ativo subjacente. O ativo subjacente pode ser uma ação, um índice ou uma commodity, por exemplo.
- Preço de Exercício ou Strike \((K)\): O preço pelo qual o titular exercerá a opção, ou seja, o preço ao qual o titular da opção tem o direito de comprar (para opções de compra) ou vender (para opções de venda) o ativo subjacente. Reciprocamente, o preço a que o lançador da opção tem obrigação de vender (para opções de compra) ou comprar (para opções de venda) o ativo subjacente.
- Taxa de Juros Livre de Risco \((r)\): A taxa de juros de mercado é aquela que o investidor obteria ao investir em ativos financeiros de curto prazo, como títulos do governo. Isso porque o mercado considera como ativos livres de risco.
- Volatilidade histórica \(( \sigma )\): A medida da flutuação histórica dos preços do ativo subjacente, que comumente é utilizada como base para a volatilidade esperada durante o tempo de vida da opção.
- Tempo de vida da opção \((t)\): É o período de tempo restante até o vencimento da opção.
- Dividendos \((d)\): O valor que se espera em dividendos durante o tempo de vida da opção. Para os casos em que desconta-se o valor distribuído do preço de exercício da opção, como é o caso das opções negociadas na B3, então deve-se considerar os dividendos nulos para efeito de aplicação do modelo Black-Scholes.
O modelo Black-Scholes
De acordo com o modelo Black-Scholes, a expressão para o preço de uma opção de compra é
\[C(t)=S\cdot N(d_1)-K\cdot e^{-rt}\cdot N(d_2)\]
em que \(N( ⋅ )\) é a função distribuição de probabilidade acumulada da variável aleatória padronizada. No modelo, a variável aleatória \(d_1\) está relacionada à probabilidade de que a opção expire no dinheiro e seja exercida, enquanto \(d_2\) está relacionada à estimativa pagamento do preço de exercício no vencimento da opção, descontada da taxa livre de risco.
De forma análoga, para uma opção de venda do tipo europeu, o modelo Black-Scholes fornece
\[P=K\cdot e^{-rt}\cdot N(-d_2)-S\cdot N(-d_1)\]
em que \(d_1\) e \(d_2\) possuem o mesmo signifcado aplicável às opções de compra, exceto pelo fato de que entram no modelo com o sinal oposto. O significado do sinal oposto é que, ao se tratar de uma opção de venda, estamos agora tratando da porção complementar abaixo da curva de distribuição de probabilidades.
Essas duas equações constituem o modelo de Black-Scholes e podemos usá-las não somente na precificação de opções de compra e venda do tipo europeu, mas também para cálculo da volatilidade implícita. Podemos calcular a volatilidade implícita a partir do preço das opções nos livros de ofertas. Os preços praticados pelas opções refletem a expectativa de volatilidade do mercado para o ativo subjacente a essa opção durante o horizonte de vida da opção.
Importância do Modelo Black-Scholes
Apesar de fornecer somente um preço teórico para uma opção, o modelo Black-Scholes possui grande importância no estudo, negociação e precificação de opções. Em primeiro lugar, ele fornece uma maneira direta de calcular o preço teórico das opções. Isso é essencial para prover um preço de referência contra o qual os preços praticados no mercado podem ser comparados. Tal medida favorece as decisões informadas sobre compra, venda ou manutenção de posições em opções. A volatilidade implícita permite acesso às condições de mercado que estão sendo consideradas no preço das opções. Além disso, o modelo serve como base para o desenvolvimento de estratégias de negociação de opções, pois permite identificar oportunidades de arbitragem e gerenciamento de exposições ao mercado.
Limitações do Modelo Black-Scholes
Como qualquer modelo teórico minimamente tratável, o modelo Black-Scholes possui pressupostos e incorpora hipóteses simplificadoras que viabilizam sua solução analítica. Entretanto, tais pressupostos e hipóteses nem sempre se mostram aderem ao contexto prático do mercado financeiro. Dessa forma, podemos considerar que o modelo Black-Scholes tem limitações importantes. Vamos olhar mais detalhadamente pra duas delas.
Em primeiro lugar, o modelo faz pressupostos simplificados sobre o comportamento do mercado, incluindo a estabilidade da volatilidade e da taxa de juros ao longo do tempo de vida da opção. É fato que não podemos prever a volatilidade futura de um ativo e nem a taxa de juros futura vigente em uma economia de mercado. O modelo, entretanto, não permite incorporar uma curva de juros (em oposição a um valor único), o que o torna limitado sob o ponto de vista de projeções que envolvem dados variantes no tempo e/ou expectativas futuras da curva de juros.
Em segundo lugar, os pressupostos para a formulação do modelo Black-Scholes tornam-no adequado para o tratamento de opções do tipo europeu (cujo exercício pode ser realizado somente na data de vencimento). Para opções americanas (que os investidores podem exercer a qualquer momento até o vencimento), o modelo pode gerar resultados imprecisos. Isso ocorre porque o direito de exercício a qualquer tempo não está incorporado na lógica de cálculo de probabilidades do modelo Black-Scholes. Mesmo assim, na prática, operadores costumam utilizá-lo também para opções do tipo americano, cientes de que o modelo estará produzindo apenas uma aproximação.
Resumo
Por fim, o modelo Black-Scholes é uma ferramenta poderosa e influente na precificação de opções financeiras. Ele encontra aplicabilidade ampla no dia-a-dia de profissionais que negociam opções e também de investidores iniciantes no mundo das opções. A estrutura matemática sólida e intuitiva permite a geração de estimativas de preço razoavelmente bons. Esses valores são de extrema importância porque servem como valor de referência para avaliar os preços presentes nos books de ofertas. Além disso, o modelo também cumpre papel fundamental para caracterizar os preços de mercado em termos dos parâmetros representativos das condições de mercado.
