O Modelo de Black & Scholes

O Modelo de Black&Scholes, desenvolvido por três economistas notáveis – Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton – na década de 1970, é uma das conquistas mais importantes na teoria financeira moderna. Este modelo revolucionário fornece uma estrutura para calcular o preço das opções financeiras e transformou a maneira como entendemos e usamos esses instrumentos financeiros.

Neste artigo, exploraremos o Modelo de Black&Scholes em detalhes, discutindo seus principais conceitos, sua importância no mercado de opções e como ele é usado para precificar opções.

Criadores do Modelo Black & Scholes

Em 1973, Fischer Sheffey Black e Myron Samuel Scholes publicaram o artigo “The pricing of options and corporate liabilities” (O preço das opções e dos passivos corporativos) no The Journal of Political Economy. Este artigo não continha apenas um modelo de sucesso para a precificação de opções, mas trazia, também, a público uma metodologia para a precificação de outros instrumentos derivativos.

Vamos conhecer um pouco sobre os seus criadores:

Fischer Sheffey Black

Em 11 de janeiro de 1938, nasceu, em Washington, D.C. (Estados Unidos), Fischer Sheffey Black. Durante seus estudos no Harvard College, trocou de curso algumas vezes até se formar em física, em 1959. Cinco anos mais tarde, em 1964, tornou-se doutor em matemática aplicada em Harvard.

Nesta época, métodos quantitativos complexos para gestão empresarial estavam sendo explorados com maior recorrência, assim como tinha-se o início da utilização de computadores no processo de tomada de decisão. Por isso, seus conhecimentos em finanças quantitativas e em tecnologia tinham muita demanda pelo mercado. Em 1965, foi contratado pela empresa de consultoria de gestão de Arthur D. Little. Black atuou nessa empresa até 1969. Nesse período, Black aprendeu suficientemente bem sobre o mercado para fundar a sua própria empresa: Associates in Finance of Belmont, em Massachusetts.

Entrou em contato com o MIT (Massachusetts Institute of Technology) em busca de apoio acadêmico. Foi muito bem recebido, tendo em vista a sua experiência prática e mercadológica, que agregaria para os testes das teorias que estavam sendo desenvolvidas no MIT.

No MIT, fez dois grandes amigos, Myron Samuel Scholes e Robert Merton, que trabalhavam com pesquisa sobre precificação de opções.

Em 1971, Black aceitou um cargo de professor visitante na University of Chicago. Um ano mais tarde, tornou-se o responsável pelo Center for Research in Security Prices naquela universidade. Em 1975, tornou-se professor no MIT, sem abrir mão de sua lucrativa empresa. Em 1984, tornou-se vice presidente de negociação e arbitragem na Goldman Sachs, sem abrir mão de seu envolvimento acadêmico.

Aos cinquenta e seis anos, em 1994, Black foi diagnosticado com câncer de garganta. Após um ano de batalha contra a doença, Black faleceu em sua residência.

Myron Samuel Scholes

Em 1 de julho de 1941, nasceu em Timmins, Ontario (Canadá), Myron Samuel Scholes. Formou-se em economia em 1962, na McMaster University. Em 1964, finalizou o seu MBA na University of Chicago Booth School of Business e conquistou o título de Ph.D. em 1969, na mesma instituição.

Após finalizar a sua dissertação de Ph.D., passou a trabalhar no MIT Sloan School of Management, onde conheceu Black. Em 1973, decidiu mudar-se para a University of Chicago, para que pudesse trabalhar mais próximo de Black e de outros estudiosos.

A partir de 1990, Scholes ficou mais atuante no mercado financeiro. Trabalhou no Salomon Brothers, ocupando o cargo de diretor e co-head da equipe de derivativos de renda fixa. Em 1994, fundou o hedge fund chamado LTCM (Long-Term Capital Management).

Em 1997, dois anos após o falecimento de Black, o modelo de precificação de opções que haviam desenvolvido foi indicado ao Prêmio Nobel, prêmio que não é concedido postumamente. Scholes e Robert Cox Merton, outro pioneiro no desenvolvimento de modelos de precificação de opções, tiveram a honra de recebê-lo.

O LTCM começou as suas operações com US$ 1 bilhão de recursos de investidores, performando muito bem em seus primeiros anos. Contudo, em 1998, devido à alta alavancagem de suas posições, perdeu US$ 4,6 bilhões em meio a crise da Ásia (1997) e a crise da Rússia (1998). Ou seja, o fundo colapsou, tornando-se um clássico caso dos riscos existentes da alavancagem no mercado financeiro. Mais interessante do que isso foi o fato de ter ocorrido aos cuidados de um vencedor do prêmio Nobel, co-autor de um dos principais modelos de precificação de ativos do mercado financeiro. Como se não bastasse esta perda, Scholes teve problemas com a estrutura fiscal que estava sendo utilizada no fundo.

Robert Cox Merton

Robert Cox Merton, nascido em 31 de julho de 1944, é um proeminente economista e matemático financeiro cujas contribuições tiveram um impacto duradouro no campo das finanças. .

Merton obteve seu Ph.D. em Economia pela Universidade de Stanford em 1970 e, logo após, começou a trabalhar na Harvard Business School. Foi durante seu tempo em Harvard que ele colaborou com Myron Scholes para desenvolver o Modelo de Black-Scholes.

Sua contribuição para a teoria das opções e a subsequente concessão do Prêmio Nobel de Economia em 1997 destacaram Merton como uma figura de destaque na economia financeira. Além disso, ele desempenhou um papel fundamental na disseminação e aplicação prática do modelo em mercados financeiros globais. Sua carreira distinta incluiu cargos acadêmicos em várias instituições de renome e continua a influenciar a forma como o mundo aborda a gestão de riscos financeiros e a avaliação de ativos complexos.

Premissas do modelo de Black & Scholes

O modelo de Black & Scholes leva em conta uma série de premissas. As principais serão apresentadas e comentadas a seguir. É importante que você reflita sobre cada uma delas em relação ao que de fato ocorre na realidade.

Premissa 1: Não existem custos transacionais ao se negociar ações e opções.

Na realidade, sabemos que existem diversos custos transacionais, tais como aqueles pagos à bolsa (taxa de negociação, taxa de liquidação e taxa de registro ), pagos à corretora (taxa de corretagem), bem como custos de aluguel de ações, impostos, dentre outros.

Talvez você também se interesse por:

Custos e taxas em notas de corretagem

Os diferentes participantes no mercado de derivativos

Premissa 2: A negociação ocorre de forma contínua

Sabemos que a negociação somente é possível durante o período de pregão. Notícias ou eventos que ocorrem fora do horário de pregão podem gerar grandes distorções de preço na abertura do dia seguinte. Ou seja, gaps de preços são comumente evidenciados. Além disso, também existe o spread bid/ask, que é a diferença entre o melhor preço de venda e o melhor preço de compra.

Sendo assim, a ocorrência de gaps, de spread bid/ask e o fato do mercado não funcionar de forma ininterrupta mostram que a negociação não ocorre de forma contínua.

Premissa 3: A taxa livre de risco é constante e igual para todos os vencimentos

Taxa livre de risco é a taxa mínima de rentabilidade que pode ser tomada como certa. No Brasil, ela é a Taxa Selic. Regularmente os membros do COPOM (Comitê de Política Monetária) se reúnem para a definição da Taxa Selic. A Selic tem variado substancialmente nos últimos anos.

Portanto, ao analisar as taxas dos contratos futuros de DI, fica nítido que há grande variação das expectativas do mercado para a taxa de juros em diferentes horizontes de tempo.

Premissa 4: Não há limitações para vendas a descoberto

Vendas a descoberto incorrem em custos de aluguel de ações e depósito de margem de garantias. Além disso, a B3 pode impor limitações quanto a quantidade máxima que cada investidor pode ter a descoberto.

Premissa 5: A volatilidade do ativo-objeto é constante

O comportamento de preços das ações varia com base em uma série de fatores, oscilando mais ou menos em momentos distintos. Sendo assim, assumir que a volatilidade da ação será constante durante o período de vida da opção não é algo que ocorre na prática.

Os modelos de Local Volatility (Volatilidade Local) e Stochastic Volatility (Volatilidade Estocástica), procuram ajustar/corrigir essa suposição, que é a mais criticada do modelo de Black & Scholes. Os modelos de Volatilidade Local fatoram a volatilidade com base em diferentes Strikes e vencimentos, ao invés da utilização de uma volatilidade única. Já os modelos de Volatilidade Estocástica levam em consideração uma coleção de dados aleatórios de volatilidade. Diferentemente de processos determinísticos, em que, com base em uma condição inicial, é possível definir toda a evolução, os processos estocásticos trabalham com diversas trajetórias possíveis.

Talvez você também se interesse por:

Entendendo a volatilidade implícita no mercado de opções

Vega das opções: o efeito da volatilidade na precificação

Premissa 6: Os preços das ações seguem movimento browniano geométrico

O movimento browniano, também conhecido como processo estocástico de Wiener, tem as seguintes propriedades:

• O processo leva em consideração apenas o preço atual da ação, e não é afetado pelos eventos passados nem por qualquer outra informação;
• Os aumentos e as reduções de preço da ação ocorrem de forma independente. Ou seja, o que ocorre em um intervalo de tempo é independente do que ocorreu em outro intervalo;
• As variações de preço seguem uma distribuição log-normal.

A distribuição normal assume valores negativos. Dado que as ações não podem assumir valores negativos, foi utilizada distribuição log-normal, pois essa não assume valores negativos.

Não é correto generalizar que os preços das ações se comportam apenas de forma aleatória. Sabemos que muitos investem de forma totalmente emotiva e irracional, mas também existem aqueles que atuam de forma muito racional.

Premissa 7: As ações não pagam dividendos nem nenhum outro tipo de provento.

Não há muito o que discutir sobre esta suposição, dado que sabemos que existem dividendos, juros sob capital próprio, bonificação e direitos de subscrição.

Dado que as suposições do modelo de Black & Scholes apresentam vulnerabilidades, por que ele é tão utilizado?

Os resultados deste modelo podem ora trazer vantagens, ora desvantagens para aquele que o está utilizando. Ao levar em consideração a gigantesca amostra gerada por estes modelos, eventos de lucro e eventos de prejuízo se compensam entre si. Isso pode ser assumido, pois a maioria dos investidores utiliza modelos semelhantes entre si. Daí a busca incessante por pesquisadores em encontrar novos modelos que consigam, de forma eficiente, atuar nas fragilidades expostas acima, obtendo assim vantagens sobre a grande maioria dos investidores.

Variáveis da fórmula de Black & Scholes

A fórmula de Black-Scholes, também conhecida como equação de Black-Scholes-Merton, calcula tanto o preço da opção de compra quanto o preço da opção de venda.

Aqui estão as variáveis na fórmula:

• C: Preço da opção de compra (call).
• P: Preço da opção de venda (put).
• S: Preço atual do ativo subjacente.
• X: Preço de exercício da opção.
• T: Tempo até o vencimento da opção (em anos).
• r: Taxa de juros livre de risco.
• σ: Volatilidade do ativo subjacente.

Talvez você também se interesse por:

Dominando as Gregas do Black & Scholes

1. Preço do Ativo Subjacente (S)

O preço do ativo subjacente é o valor atual do ativo financeiro, como uma ação. Este preço é um dos principais determinantes do preço da opção. Se o preço do ativo subjacente aumentar, o valor de uma opção de compra normalmente aumentará, enquanto o valor de uma opção de venda normalmente diminuirá.

2. Preço de Exercício (X)

O preço de exercício, muitas vezes chamado de preço de strike, é o preço pelo qual o titular da opção pode comprar (no caso de uma opção de compra) ou vender (no caso de uma opção de venda) o ativo subjacente. Um preço de exercício mais alto torna uma opção de compra mais barata e uma opção de venda mais cara, e vice-versa.

3. Tempo até o Vencimento (T)

O tempo até o vencimento é o período de tempo que resta até a opção expirar. Quanto mais tempo uma opção tiver até o vencimento, maior será seu valor, pois há mais oportunidades para o preço do ativo subjacente se mover favoravelmente em relação à opção.

Talvez você também se interesse por:

Entendendo o valor do tempo em opções

4. Taxa de Juros Livre de Risco (r)

A taxa de juros livre de risco, muitas vezes representada pela taxa de rendimento de títulos do governo, é importante na fórmula de Black-Scholes.

5. Volatilidade (σ)

A volatilidade representa a medida da variação de preços do ativo subjacente. Quanto mais volátil o ativo, maior será a volatilidade e, portanto, maior será o preço da opção. A volatilidade é uma das variáveis mais críticas na fórmula de Black-Scholes, pois reflete o grau de incerteza associado ao ativo subjacente.

Temos um artigo no qual explicamos melhor o efeito de cada uma dessas variáveis. Aproveite para lê-lo, ampliando assim o seu repertório de conhecimento neste assunto.