Gamma das opções: acelerando os preços

Se você deseja tornar-se um especialista no mercado de opções, é imprescindível que você conheça o modelo de precificação de Black & Scholes  e, em particular, que você conheça as variáveis, ou gregas, do modelo. Uma dessas variáveis é o gamma das opções, que mede a sensibilidade do delta da opção em relação à variação do preço da ação. Se associarmos o delta da opção à velocidade de mudança do preço da opção, então, o gamma seria a aceleração. É sobre essa variável que falaremos no presente artigo.

O que é o gamma

O gamma da opção é a variável que mede a razão entre a mudança do delta da opção e a mudança de preço da ação. Matematicamente,

$$\mathrm{\Gamma }=\frac{{\mathrm{\Delta }}_n-{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}{F_{a_n}-F_{a_{n-1}}}$$

em que

• $F_{a_n}$ é o preço de fechamento da ação em um determinado pregão .
• $F_{a_{n-1}}$ é o preço de fechamento da ação no pregão anterior, $n-1$.
• ${\mathrm{\Delta }}_n$ é o delta da opção em um determinado pregão .
• ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$ é o delta da opção no pregão anterior, $n-1$.

Em outras palavras, o $\mathrm{\Gamma }$ é a taxa de variação do  em relação à variação do preço da ação. Ou seja, o $\mathrm{\Gamma }$ é a segunda derivada do preço da opção em relação ao preço da ação.

Formalmente falando, o gamma é dado pela equação

$$\mathrm{\Gamma }=\frac{N^{\prime }(d_1)}{S\cdot \sigma \sqrt{T-t}}$$

em que $N^{\prime }(d_1)$ é a função densidade de probabilidade normal padrão, $S$ é o preço do ativo à vista no momento da precificação, ou seja, o spot, $\sigma$ é a volatilidade da ação, $T$ é o vencimento e $t$ é o tempo em anos até o vencimento.

Graficamente

Apresentamos, a seguir, alguns gráficos que relacionam o preço da opção, o delta, o gamma e o preço da ação.

O primeiro gráfico relaciona a variação do preço de uma call em relação à variação do preço da ação. Como você pode ver, essa variação não é linear.

O segundo gráfico, apresenta a variação do delta em relação ao preço da ação. K é o preço de strike da opção. Perceba que o gráfico muda de direção no strike, reduzindo a inclinação. Além disso, ele se aproxima de 1, sem nunca chegar ao valor 1.

Finalmente, o gráfico acima apresenta a variação do gamma em relação ao preço da ação. K é o preço de strike da opção. Perceba que o valor do gamma é máximo exatamente quando a opção está no dinheiro.

Exemplos

Vejamos alguns exemplos numéricos para um melhor entendimento do papel do gamma.

Exemplo 1

Suponha, por exemplo, que uma ação está valendo R$ 30,00. A call de strike R$ 30,00 possui um delta de 50% e gamma de 20%. O que acontecerá com o delta se a ação subir para R$ 30,10?

Dado que a ação valorizou, então, o delta aumentará. No caso, teremos

$${\mathrm{\Delta }}_{novo}={\mathrm{\Delta }}_{Antigo}+\mathrm{\Gamma }\cdot Variação_{ação}$$

ou seja

$${\mathrm{\Delta }}_{novo}=50\mathrm{\%}+20\mathrm{\%}\cdot 0,10=50\mathrm{\%}+2\mathrm{\%}=52\mathrm{\%}$$.

Exemplo 2

Suponha que uma ação está valendo R$ 30,00. A call de strike R$ 30,00 possui um delta de 50% e gamma de 20%. O que acontecerá com o delta se a ação cair para R$ 29,60?

Dado que a ação desvalorizou, então, o delta diminuirá. No caso, teremos

$${\mathrm{\Delta }}_{novo}={\mathrm{\Delta }}_{Antigo}+\mathrm{\Gamma }\cdot Variação_{ação}$$

ou seja

$${\mathrm{\Delta }}_{novo}=50\mathrm{\%}+20\mathrm{\%}\cdot (-0,40)=50\mathrm{\%}-8\mathrm{\%}=42\mathrm{\%}$$.

Outras variáveis do modelo de Black & Scholes:

Vega das opções: o efeito da volatilidade na precificação

Theta das opções: compreendendo o tempo como um aliado ou inimigo