Aplicação do modelo Black-Scholes para a precificação de opções
O modelo Black-Scholes é um dos marcos fundamentais da teoria financeira e da gestão de risco. Três economistas notáveis, Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton, desenvolveram o modelo na década de 1970, e revolucionou a maneira como entendemos e precificamos opções financeiras. Tão importante quanto reconhcer a importância do modelo Black-Scholes no Mercado Financeiro é entender como ele funciona na prática. Neste artigo, exploraremos o modelo Black-Scholes e sua aplicação para a precificação de opções.
O modelo Black-Scholes
O modelo Black-Scholes é uma formulação matemática analítica que permite calcular o preço teórico de uma opção financeira. O preço teórico de uma opção também é conhecido como o “preço da opção” ou “prêmio da opção“. Investidores e instituições financeiras usam o modelo para determinar o valor de opções de compra e de opções de venda em diferentes condições de mercado, e reajustá-lo apropriadamente diante de mudanças nas condições de mercado.
Além disso, o modelo Black-Scholes é especialmente útil para opções europeias, que são aquelas que os investidores só podem exercer na data de vencimento. O modelo assume que os mercados são eficientes e que não há custos de transação. Essas hipóteses permitem formular e abordar o problema da precificação de forma analítica, porém adicionam limitações ao modelo. O modelo Black-Scholes é uma ferramenta poderosa para avaliar estratégias de investimento, gerenciar riscos e tomar decisões informadas no mercado de opções.
Como funciona?
Para compreender como o modelo funciona, é essencial conhecer seus principais componentes: os parâmetros de entrada e as equações.
Os parâmetros de entrada
- Preço do Ativo Subjacente \( S \): Este é o preço atual do ativo, como uma ação, moeda, índice, commodity, etc.
- Preço de Exercício \( K \): O preço ao qual o titular da opção tem o direito de comprar (para opções de compra) ou vender (para opções de venda) o ativo subjacente na data de vencimento.
- Taxa de Juros Livre de Risco \( r \): Geralmente, é a taxa de juros de títulos do governo de curto prazo. O modelo usa a taxa livre de risco para descontar os fluxos de caixa futuros associados à opção de volta ao seu valor presente.
- Volatilidade \( \sigma \): A volatilidade representa a medida da variação do preço do ativo subjacente ao longo do tempo. A volatilidade é uma das variáveis-chave que impactam o preço da opção.
- Tempo de vida da opção \( T \): É o período de tempo até a data de vencimento da opção.
- Taxa de pagamento de dividendos \( d \): Para ações que pagam dividendos, deve-se levar em conta os dividendos futuros em consideração ao calcular o preço da opção. No caso das opções negociadas na B3, cujos preços de exercícios são descontados para dividendos, podemos ignorar esse parâmetro. A propósito, formularemos o modelo a seguir desconsiderando a taxa de pagamento de dividendos por esse motivo.
As equações
A formulação original do modelo Black-Scholes leva ao preço de uma opção de compra, \(C\) , ou ao preço de uma opção de venda, \(V\). Para uma opção de compra, temos:
\[C=S\cdot N(d_1)-K\cdot e^{-rT}\cdot N(d_2)\]
em que \(N( . )\) é a função distribuição acumulada e \(d_1\) e \(d_2\) são medidas associadas à probabilidade de a opção ser exercida no vencimento, definidas por
\[d_1 = {ln\left({S\over{K}}\right) + \left(r + {\sigma^2\over{2}}\right)T\over{\sigma\sqrt{T}}}\]
e
\[d2 = d_1 – \sigma\sqrt{T}\]
Analogamente, para uma opção de venda, podemos calcular o preço da opção com a fórmula
\[P=K\cdot e^{-rT}\cdot N(-d_2)-S\cdot N(-d_1)\]
E assim os elementos elencados como parâmetros de entrada são utilizados para determinar o preço teórico do direito representado por uma opção de compra ou venda. Vamos, a seguir, aplicar esses valores de entrada e equações na precificação de opções de compra e venda utilizando o modelo Black-Scholes.
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Neste exemplo, vamos considerar o preço inicial do ativo subjacente \(S( 0 ) =100,00\), o preço de exercício da opção \(K=95,00\), a taxa de juros livre de risco de \(5\%\) ao ano, e tempo de vida igual a 45 dias úteis, ou, \(T= {{45}\over{252}}\) em uma base anual em dias úteis, para uma volatilidade esperada para o período equivalente a \(\sigma =40\%\) ao ano. A partir disso, vamos calcular o preço atual das opções de compra e venda através do modelo Black-Scholes.
Para começar, vamos obter os valores de \(d_1\) e \(d_2\), bem como as probabilidades acumuladas \(N( d_1 )\) e \(N( d_2 )\). Considerando as equações apresentadas anteriormente e os dados do problema, temos
\[d1={{ln({{100}\over{95}})+({0,05+{{0,4^2}\over{2}}}){{45}\over{252}}}\over{0,4\sqrt{{45}\over{252}}}}\]
ou seja \(d_1=0,4408\). Portanto, \(d_2=d_1-\sigma\sqrt{{45}\over{252}}=0,2718\).
A partir daí, utilizando a tabela de distribuição normal padrão, temos \(N( d_1 ) =0,6703\),\( N( d_2 ) =0,6071\), \(N( – d_1 ) =0,3297\), e \(N( – d_2 ) =0,3929\). Com base nesses valores, podemos calcular o preço da opção de compra. Temos
\[C=100\cdot 0,6703-95\cdot e^{-0,05{{45}\over{252}}}\cdot 0,6071=9,87\]
Portanto, o preço atual da opção de compra, calculado através do modelo Black-Scholes, é de R$ 9,87.
Analogamente, para a opção de venda, temos
\[P=95\cdot e^{-0,05{{45}\over{252}}}\cdot 0,3929-100\cdot 0,3297=4,03\]
Assim, o preço atual da opção de venda é R$ 4,03.
E, pronto! Calculamos os prêmios relativos à opção de compra e opção de venda, utilizando o modelo Black-Scholes.
Outros modelos de precificação
É interessante lembrar que existem outros modelos de precificação de opções como:
- Modelo Binomial: Utiliza um processo de árvore de decisão para modelar possíveis caminhos que o preço do ativo subjacente pode seguir até o vencimento da opção, adequado tanto para opções europeias quanto americanas.
- Monte Carlo: Simula um grande número de possíveis trajetórias de preços do ativo subjacente para calcular o preço de opções, útil para derivativos complexos e situações em que outros modelos são impraticáveis.
- Merton: Extensão do Black-Scholes, incorporando saltos nos preços dos ativos, capturando eventos de mercado inesperados que podem impactar significativamente o valor das opções.
- Bachelier: Um dos primeiros modelos de precificação, assume movimento browniano para calcular preços de opções, sem considerar a lognormalidade dos retornos dos ativos subjacentes.
- Heston: Um modelo que permite a volatilidade estocástica, proporcionando uma fórmula para precificar opções com características mais realistas, considerando a variabilidade da volatilidade ao longo do tempo.
Limitações do Modelo Black-Scholes
Cabe lembrar que, embora o modelo Black-Scholes seja uma ferramenta valiosa, ele possui algumas limitações. Em primeiro lugar, o modelo assume que os mercados são eficientes, que não há custos de transação, que a volatilidade é constante e que não há mudanças abruptas nos preços. Essas suposições são simplificações nem sempre são válidas na realidade. Isso pode impactar a forma como o modelo responde às condições de mercado.
Em segundo lugar, o modelo Black-Scholes é mais apropriado para opções europeias, que só podem ser exercidas na data de vencimento. Para opções americanas (que podem ser exercidas a qualquer momento até o vencimento), ajustes são necessários. Em outros casos, como o das opções exóticas, o modelo Black-Scholes não é aplicável, pois sua formulação não contempla a complexidade das condições presentes em uma opção exótica.
Por fim, o modelo Black-Scholes é uma ferramenta poderosa para a precificação de opções e desempenha um papel fundamental no dia-a-dia do Mercado Financeiro. De qualquer forma, assim como com qualquer outro modelo ou ferramenta, devemos utilizá-lo com discernimento, considerando suas limitações. Neste artigo, conhecemos o procedimento de aplicação do modelo Black-Scholes, e isso é de fundamental importância para uma compreensão mais apurada da técnica de precificação de opções.
