Compreendendo o método Monte Carlo para precificação de opções

A precificação de opções é uma tarefa fundamental no mundo das finanças, permitindo que investidores avaliem e negociem derivativos com base em uma ampla gama de ativos subjacentes. Uma das abordagens mais versáteis e amplamente utilizadas para a precificação de opções é o método Monte Carlo. Neste artigo, exploraremos como o método Monte Carlo, que muitos investidores usam na importante tarefa de precificar opções.

É importante lembrar que existem outros métodos de precificação de opções como o de Black-Scholes e o modelo binomial.

Compreendendo as Opções

Antes de mergulharmos na precificação de opções través do método Monte Carlo, é importante entender o que são as opções. As opções são contratos financeiros que concedem ao seu detentor o direito, mas não a obrigação, de comprar (para um opção de compra) ou vender (para uma opção de venda) um ativo subjacente a um preço específico (preço de exercício), em ou até uma data futura (data de vencimento). Para adquirir esse direito, o detentor (comprador) paga ao lançador (vendedor) da opção um prêmio, cujo valor é o objeto de estudo do processo chamado de precificação de opções.

Os preços das opções sofrem influência uma série de fatores, incluindo o preço atual do ativo subjacente, o preço de exercício, a volatilidade, a taxa de juros livre de risco e o tempo restante até a data de vencimento. A precificação de opções tem como objetivo estabelecer o valor esperado do resultado da operação (payoff), descontado para o momento presente.

O método Monte Carlo

O método Monte Carlo é uma técnica numérica que aplica uma grande quantidade de realizações de um processo aleatório para buscar a resposta para problemas complexos. Na precificação de opções, utilizamos o método Monte Carlo para simular trajetórias da evolução do preço do ativo subjacente ao longo do tempo.

As trajetórias partem do preço atual do ativo subjacente e evoluem considerando a volatilidade esperada para o ativo durante o período. Ao final desse processo, aplica-se a função de payoff da opção à “nuvem” de trajetórias simuladas do ativo e, como resultado, obtemos como resultado o payoff da opção para cada trajetória. Como consideramos as trajetórias equiprováveis, o valor esperado do payoff da opção equivale à média aritmética simples dos payoffs de todas as trajetórias. Descontando-se o payoff médio para valor presente (utilizando a taxa de juros livre de risco), temos o “preço justo” atual da opção.

Vejamos a seguir, com mais detalhes, cada uma dessas etapas.

Geração de caminhos aleatórios

Na precificação de opções, podemos interpretar o preço futuro do ativo subjacente como o resultado de um experimento aleatório. Dessa forma, simula-se uma série de caminhos aleatórios para o preço do ativo subjacente usando um modelo estocástico. Assim, cada caminho representa uma possível evolução do preço do ativo ao longo do tempo, a partir do valor atual.

Podemos obter uma realização do caminho aleatório dos preços do ativo subjacente iterando-se

\[S\left(k+1\right)=S\left(k\right)e^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\omega(k+1)}\]

em que:

• \(S(0)\) é o preço inicial do ativo subjacente;
• \(r\) é o crescimento médio no preço do ativo, geralmente tomado como a taxa de juros livre de risco;
• \(\sigma\) é a volatilidade esperada para o ativo no período;
• \(\Delta t\) é o passo da evolução temporal da evolução do preço; e
• \(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},…\) é considerada uma variável aleatória independente identicamente distribuída, com média zero e variância unitária.

Denotaremos a i-ésima realização do processo por \(S_{i}\).

Valor da opção no vencimento

Para cada caminho aleatório gerado no passo anterior, calcula-se o valor da opção no vencimento \((T)\). Para opções de compra, o valor é a diferença entre o preço do ativo no vencimento e o preço de exercício, se positivo. Teremos, então, para a i-ésima realização do processo estocástico

\[V_{i}\left(T\right)=max\left(S_{i}\left(T\right)-K,0\right).\]

Para opções de venda, o valor é a diferença entre o preço de exercício e o preço do ativo no vencimento, se positivo, ou seja,

\[V_{i}\left(T\right)=max\left(K-S_{i}\left(T\right),0\right)\]

Caso contrário, o valor é zero, ou seja, a opção “vira pó” no vencimento.

Média dos valores das opções

Nesta etapa, calcula-se a média dos payoffs obtidos na etapa anterior. Considerando que todos os caminhos aleatórios são equiprováveis, considera-se, para esse fim, a média aritmética simples. O valor obtido pelo cálculo da média representa o valor esperado da opção no vencimento. No caso de n realizações do processo

\[E\left[V\left(T\right)\right]=\bar{V}\left(T\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}V_{i}\left(T\right)\]

Para que o valor esperado aproxime-se do preço teórico da opção, é necessário utilizar um número grande de trajetórias.

Desconto para valor presente

A média obtida na etapa anterior corresponde, aproximadamente, ao valor esperado do payoff da opção no vencimento. Devemos descontar o valor esperado para o presente usando a taxa de juros livre de risco para estimar o preço atual da opção. Obter o preço atual da opção conclui o processo de precificação, que é justamente o cálculo da expectativa do valor presente do payoff da opção. Assim, para uma taxa de juros livre de risco \(r\), em regime de capitalização contínua, temos

\[V\left(t\right)=e^{-r\left(T-t\right)}E\left[V\left(T\right)\right]\]

Em resumo, na precificação de opções usando o método Monte Carlo, estamos gerando caminhos aleatórios para o preço do ativo subjacente e calculando o valor presente da média dos payoffs das opção no vencimento. Para opções mais complexas e que envolvem cláusulas de barreira (e.g., up and in, up and out, down and in e down and out), os princípios de cálculo são os mesmos, porém a implementação das funções de payoff das opções se tornam um pouco mais complexas. É o caso das opções exóticas. Nesses casos, as condições de barreira precisam ser testadas ao longo de toda a trajetória de preços do ativo, pois elas comandam o comportamento da opção ao longo de sua vida e no seu vencimento.

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Como precificar opções exóticas?

Vantagens e desvantagens do método Monte Carlo

O método Monte Carlo é amplamente utilizado na indústria financeira para precificar opções e derivativos. Isso ocorre, em especial, devido ao fato de que o método permite acomodar, de forma simples, as condições das mais variadas em contratos de opções. É o caso das condições de barreira comumente encontradas em opções exóticas, que agregam riqueza e complexidade aos contratos. Tais condições não são facilmente acomodadas em modelos de precificação com base analítica, como é o caso do modelo Black-Scholes.

Por outro lado, a simulação de um grande número de caminhos aleatórios pode gerar uma demanda computacional considerável. Ainda mais se considerarmos que, em geral, estaremos interessados na precificação de mais de um instrumento sobre o mesmo ativo, e até mesmo sobre diversos ativos. Atualmente, é comum a utilização de unidades de processamento gráfico de propósito geral (GPGPUs) para o fim de rodar simulações computacionais com alta demanda de processamento.

As GPGPUs são equipadas com centenas ou milhares de processadores e memória dedicada, o que reduz substancialmente o tempo necessário para a execução do procedimento. Dada a natureza altamente paralelizável do método Monte Carlo, em que cada realização do processo aleatório pode ser calculada paralelamente às demais, pois elas são independentes umas das outras.

Por fim, o método Monte Carlo é uma ferramenta versátil e poderosa para a precificação de opções e uma ampla variedade de outros problemas financeiros. Ao simular a evolução do preço do ativo subjacente, o método leva em consideração o caráter estocástico inerente aos movimentos de preços no mercados financeiros, e utiliza teoremas conhecidos da estatística para prover resultados relevantes no Mercado Financeiro, de forma simples e objetiva.