Proteção delta-gamma ou delta-gamma hedge

A proteção delta-gamma também é conhecida como delta-gamma hedge e vai além da proteção delta. Enquanto a proteção delta busca a neutralização do delta de uma carteira, a proteção delta-gamma dá um passo além e busca a neutralização de delta e gamma. Assim, a carteira fica protegida quanto a variações não só no preço do ativo subjacente, mas às variações no delta da carteira causadas pelas variações no preço do ativo subjacente. Neste artigo, abordaremos a teoria por trás da proteção delta-gamma, apresentaremos exemplos práticos para essa estratégia sofisticada.

Entendendo delta e gamma

Antes de abordarmos a proteção delta-gamma, vamos compreender o que as métricas delta e gamma representam em uma posição.

Delta e gamma são duas das chamadas “Gregas”. Delta representa a sensibilidade do preço de uma opção às mudanças no preço do ativo subjacente. Opções de compra possuem delta no intervalo \(\left[0,1\right]\), enquanto opções de venda possuem delta no intervalo \(\left[-1,0\right]\).

Um delta igual a 1 indica que a opção aumenta de preço em uma razão um-para-um relativamente ao ativo subjacente. Ou seja, nessa situação, um aumento de R$ 1,00 no preço do ativo subjacente ocasiona um aumento de R$ 1,00 no preço da opção. Em contrapartida, um delta igual a 0 significa que a opção não sofre alteração de preço em resposta a uma variação no preço do ativo.

Vejamos um exemplo: uma opção com delta igual a 0,4 aumentará de preço em aproximadamente R$ 0,40 em resposta a um aumento de preço de R$ 1,00 no ativo subjacente. Em contrapartida, um delta de -0,4 significa que o preço da opção diminui em aproximadamente R$ 0,40 a cada R$ 1,00 de aumento no preço do ativo subjacente.

Para calcular o delta, utilizamos a definição

\[\varDelta=\frac{\partial V}{\partial S}\]

em que:

• \(V\) representa o preço da opção; e
• \(S\) é o preço do ativo subjacente.

Assim, o delta é definido como a taxa de variação no preço da opção relativamente à variação no preço do ativo subjacente.

O papel do gamma

Assim como o delta mede a influência de variações no preço do ativo subjacente sobre o preço da opção, o gamma mede a influência de variações no preço do ativo subjacente sobre o delta da opção. Ou seja, variações no preço do ativo subjacente têm influência sobre o preço da opção e também sobre seu delta. E a influência sobre o delta é medida através do gamma.

O gamma é definido como a segunda derivada parcial do preço da opção em relação ao preço do ativo subjacente. Em termos matemáticos,

\[\Gamma=\frac{\partial}{\partial S}\left(\varDelta\right)=\frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)=\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}.\]

Temos, então, a definição de delta e gamma. A tarefa da estratégia delta-gamma hedge é zerar tanto delta quanto o gamma da posição, tornando-a delta-gamma neutra.

Entendendo a proteção delta-gamma

A proteção delta-gamma visa neutralizar, simultaneamente, o delta e o gamma da posição, garantindo que as variações no preço do ativo subjacente não afetem significativamente o valor total da carteira e nem o seu delta. Na prática, a gestão contínua do delta e gamma da carteira permite que a posição permaneça com valor aproximadamente constante a despeito de variações no preço do ativo subjacente.

Essa gestão contínua de delta e gamma pode ser efetivada equacionando-se a posição em termos das variáveis delta e gamma de cada ativo que compõe a carteira. Para compreender a ideia, vamos considerar uma carteira composta por 100 opções de compra (C) de uma determinada commodity, cujo delta é \(\varDelta_{C}=0,60\), e o gmama é \(\Gamma=0,20\). Isso indica que o valor da carteira é sensível a mudanças no preço do ativo subjacente, e também seu delta. Para neutralizar esse delta, o investidor pode abrir uma posição em contratos futuros da commodity (F), que têm um delta de \(\varDelta_{F}=1,00\).

Para que a posição em contratos futuros compense o delta positivo das opções e resulte em um delta líquido próximo de zero para a posição (opções + contratos futuros), o investidor deve utilizar uma determinada quantidade de contratos futuros, que vamos denotar por X. Equacionando, temos

\[100\cdot\varDelta_{C}+X\cdot\varDelta_{F}=0.\]

Resolvendo para o tamanho da posição em contratos futuros, X, encontramos

\[X=-100\cdot\frac{\varDelta_{C}}{\varDelta_{F}}=-100\cdot\frac{0,60}{1,00}=-60.\]

Assim, temos \(X=-60\) contratos futuros da commodity, em que o sinal negativo representa uma posição vendida.

O delta da posição comprada em opções de compra \((100\cdot\varDelta_{C}=100\cdot0,60=60)\) foi compensado pelo delta da posição vendida em contratos futuros \((-60\cdot\varDelta_{F}=-60\cdot1,00=-60)\). Como resultado, temos uma operação com proteção delta, ou delta-neutra.

Neutralizando o gamma

Vamos aprofundar um pouco a compreensão da proteção delta, notando que a carteira é delta-neutra, mas não é gamma-neutra. Gamma é a métrica da variação do delta em relação a variações no preço do ativo subjacente. Ou seja, apesar de o valor da carteira permanecer aproximadamente constante diante de uma variação no preço do ativo subjacente, o delta da opção de compra deverá sofrer alterações.

Suponha que uma alteração no preço do ativo subjacente cause uma alteração no valor do delta da opção de compra, que agora é igual a \(\varDelta_{C}=0,80\). A operação perdeu sua condição de neutralidade delta, e para retomá-la, deverá ser rebalanceada.

Resolvendo novamente a equação da neutralidade do delta, podemos encontrar o novo tamanho da posição em contatos futuros para a retomada da condição delta-neutra da operação. Ela é igual a

\[X=-100\cdot\frac{\varDelta_{C}}{\varDelta_{F}}=-100\cdot\frac{0,80}{1,00}=-80.\]

Ou seja, o investidor precisa vender mais 20 contratos futuros da commodity, e assim aumentará sua posição vendida de 60 para 80 contratos. E assim por diante.

A necessidade de rebalanceamento das posições deverá ser avaliada sempre que ocorrer uma variação no delta de qualquer uma das pernas da operação. Assim, podemos assegurar a continuidade da condição de delta neutralidade da operação. Essa gestão contínua da posição para manter a condição delta-neutra é chamada de proteção delta-gamma.

Vantagens e limitações da proteção delta-gamma

A proteção delta-gamma permite aos investidores controlar e gerenciar o risco associado às mudanças nos preços dos ativos subjacentes, tanto em termos do valor total da carteira quanto em termos de seu delta. Assim, torna-se possível estabilizar o valor total de uma carteira, a despeito de variações nos preços do ativo subjacente.

Neutralizando o delta e o gamma da carteira, a estratégia busca manter a estabilidade do valor total da carteira em face de flutuações no mercado. A gestão contínua de delta e gamma pode ser especialmente útil durante períodos de incertezas, como forma de proteção contra a volatilidade nos preços.

Em termos de suas limitações, temos o fato de que o delta e o gamma calculados nem sempre são verificados nas operações de mercado, tendo em vista que a volatilidade implícita pode mudar ao longo do tempo de vida da opção. Assim, a proteção é baseada em algumas suposições simplificadas, como a estabilidade das variáveis de mercado, que podem não refletir adequadamente a realidade de um determinado momento.

Outra limitação da proteção delta-gamma é o custo operacional envolvido no reiterado rebalanceamento das operações. A execução contínua de operações de delta hedge pode resultar em custos significativos de transação, especialmente em mercados voláteis. Esses custos podem, eventualmente, pesar no rendimento esperado da operação.
Por fim, podemos afirmar que a proteção delta-gamma é uma evolução da proteção delta. Mais especificamente, é a contínua gestão do delta da carteira, que permite um nível de proteção mais elevado para a posição. Assim, é uma estratégia essencial para gerenciar riscos em ambientes de mercado. Compreender a sofisticada proteção delta-gamma é fundamental para investidores que buscam proteger suas carteiras em termos de valor total e também de seu delta.

Resumo

Por fim, podemos afirmar que a proteção delta-gamma é uma evolução da proteção delta. Mais especificamente, é a contínua gestão do delta da carteira, que permite um nível de proteção mais elevado para a posição. Assim, é uma estratégia essencial para gerenciar riscos em ambientes de mercado. Compreender a sofisticada proteção delta-gamma é fundamental para investidores que buscam proteger suas carteiras em termos de valor total e também de seu delta.