Como Calcular a Volatilidade Histórica?

A volatilidade histórica é uma medida da flutuação dos preços de um ativo ao longo de um horizonte de tempo. Como tal, é uma métrica essencial para entender a dinâmica de variação de preços e uma forma de mensurar o risco associado a um ativo. Neste artigo, aprenderemos a calcular a volatilidade histórica, bem como poderemos usar tal volatilidade para mensurar o risco associado a um ativo financeiro.

Tudo começa com uma série histórica: a série histórica de preços dos ativos financeiros de interesse. Uma série histórica ou série temporal é um conjunto de observações de uma variável ao longo do tempo. Em nosso caso, usaremos o preço de fechamento do ativo de interesse.

Além disso, é necessário decidir a taxa de amostragem das observações (time-frame ou escala), que deverá ser adequada à análise que realizaremos. Na maior parte dos casos, como no caso de precificação de opções e cálculo do risco de ativos, utiliza-se dados diários. Temos, então, a sequência de n preços de fechamento diários \(\{ P_k \} = P_1,\ P_2,…,\ P_n \), sobre os quais serão calculados os \(n-1\) retornos diários.

Em nossa tabela, temos \(P_1 =32,02,\ P_2 =31,86,\ P_3 =30,18\) e assim por diante, até \(P_{30} =32,55\), então em nosso caso, \(n=30\). Portanto, esse conjunto dará como resultado uma sequência de \(n-1=30-1=29\) dados de retorno.

A partir da série temporal de preços do ativo, calculamos a série temporal dos retornos. Em nosso caso, para os dados diários, calcularemos os retornos diários como a variação percentual no preço de fechamento de um dia em relação ao preço de fechamento no dia anterior.

Formalmente, podemos definir o retorno no k-ésimo dia como

\[R_k={P_k\over{P_{k-1}}}-1\]

Repetindo o processo para os \(n-1\) pares de valores consecutivos da série de preços. Temos agora uma série de \(n-1\) retornos diários do ativo no período considerado. Acompanhe aí:

\[\begin{equation}
\begin{array}{c}
R_{1}=\displaystyle\frac{P_{2}}{P_{1}}-1\\
R_{2}=\displaystyle\frac{P_{3}}{P_{2}}-1\\
\vdots\\
R_{29}=\displaystyle\frac{P_{30}}{P_{29}}-1
\end{array}
\end{equation}\]

Calculando-se o desvio-padrão amostral sobre a série de retornos diários do ativo, teremos a volatilidade histórica do ativo em termos diários, que chamaremos de \(\sigma_d\). Assim, considerando a média dos retornos \(\bar{R}\), dada por

\[\begin{equation}
\bar{R}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}R_{k}
\end{equation}\]

Para nossos dados, vamos redefinir \(n\) como o número de dados de retornos.

A partir disso, vamos definir a média dos retornos

\[\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\bar{R} & = & \frac{1}{29}\sum_{k=1}^{29}R_{k}\\
& = & \frac{1}{29}\left(0,00502+0,05667+\cdots+0,02734\right)\\
& = & -0,02394=-2,394\%
\end{array}
\end{equation}\]

Calculando o desvio-padrão amostral, definido como
\[\sigma_{d}^{2}=\frac{\sum_{k=1}^{n}\left(R_{k}-\bar{R}\right)^{2}}{n-1}\]

temos, para nossos dados,

\[\sigma_{d}=\sqrt{\displaystyle\frac{\sum_{k=1}^{29}\left(R_{k}-\bar{R}\right)^{2}}{29-1}}=0,02596=2,596\%\]

Para nossos dados, encontramos \(\sigma_{d}=0,02596\), que representa a volatilidade histórica diária calculada para o ativo durante esse período de 30 dias.

Em algumas aplicações é desejável empregar-se a volatilidade histórica anual equivalente. Na precificação de opções, por exemplo, em que o tempo de vida dos contratos é medido em dias úteis, tomando-se o padrão do ano com 252 dias úteis, a volatilidade anual equivalente é calculada como

\[\sigma_{a}=\sqrt{252}\cdot\sigma_{d}\]

Temos, então o valor de referência para a volatilidade anual do ativo, que pode ser utilizada em diversos estudos, como por exemplo a precificação de opções sobre o ativo, cálculo do VaR (Value at Risk) associado ao ativo, entre outros. Voltando ao exemplo, temos

\[\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\sigma_{a} & = & \sqrt{252}\cdot\sigma_{d}\\
& = & \sqrt{252}\cdot2,596\\
& = & 0,4121=41,21\%
\end{array}
\end{equation}\]

Vale a pena lembrar que o indicador bandas de Bollinger utilizam o desvio padrão para determinar a faixa de possível movimento do preço.

Aplicando a volatilidade histórica

Dessa forma, chegamos à conclusão de que a volatilidade histórica anual para o ativo é de \(41,21\%\) . A partir daí, podemos utilizar a volatilidade histórica calculada para precificar uma opção utilizando o modelo Black-Scholes, por exemplo, ou então utilizando o método Monte-Carlo.
Podemos também utilizar a volatilidade histórica para classificar o ativo quanto ao risco, uma aplicação comum na busca por ativos com baixa volatilidade para a composição de carteiras. Ainda, calculando-se as correlações entre as flutuações de preços de diferentes ativos, podemos buscar minimizar o risco teórico de uma carteira.
Para concluir, o cálculo da volatilidade histórica é um procedimento simples e muito comumente utilizado na análise da dinâmica de preços de ativos financeiros.
A busca pelo maior retorno para um dado nível de risco requer que as diferentes opções de alocação sejam classificadas e ranqueadas em termos de seu risco associado. Da mesma forma, as probabilidades e incertezas associadas às opções precisam ser precificadas, a fim de que a exposição ao risco seja adequadamente remunerada.
Em todas essas ocasiões, o cálculo da volatilidade histórica é um fator de fundamental importância e ampla aplicabilidade prática.